Section 6.8 在给定解释下求真值
Objectives: 给定解释\(\quad I \quad\)如下
- 个体域D:自然数的集合\(N\)
- \(\displaystyle \bar{a} = 0 \)
- \(\bar{F}(x,y)\)为x=y
- \(\displaystyle \bar{f} (x,y) = x+y \quad \bar{g} (x,y) = x \bullet y\)
- \(\displaystyle \delta(x) = 1 \quad \delta(y) = 2 \quad \delta(z) =3 \)
Objectives: 求下面公式的真值
- \(\displaystyle \forall x (F(g(x,a),x)) \imp F(x,y) \)
Objectives: 注意\({\color{Blue}{x}}\)是约束出现,\({\color{green}{x}}\)是自由出现
- \(\displaystyle \forall {\color{Blue}{x}} (F(g({\color{Blue}{x}},a),{\color{Blue}{x}})) \imp F({\color{green}{x}},y) \)
注意事项.
在解释下求真值时,约束出现的变项不用被\(\delta\)函数值替换!
在解释下求真值时,非约束出现的变项都要被\(\delta\)函数值替换!
\(\quad \color{Blue}{x} \quad\)出现在紧跟\(\forall\)后面的括号里，被\(\forall\)约束，无需替换
\(\quad \color{green}{x} \quad \)是自由出现，没被\(\forall\)约束,\(\quad\)需要被替换成\(\quad \delta(x) = 1\)
在上面的题目中\(\quad y \quad \)是自由出现，需要被替换成\(\quad \delta(y) = 2\)
Objectives: 将解释的条件代入公式求真值
- \(\displaystyle \forall \color{Blue}{x} ( \color{Blue}{x} \bullet 0 = \color{Blue}{x}) \imp ({\color{green}{1}}=2) \quad \color{Blue}{x} \in N \)
- 任意一个自然数x乘以0等于x显然是假的
- 对于蕴含运算符来说假设部分是假的,无论结论是什么整个命题都是真的
- \(\therefore \quad \forall x (F(g(x,a),x)) \imp F(x,y) \) 的真值为1